Introduction aux séries temporelles

Ce que vous allez apprendre

À la fin de ce cours, vous saurez :

Résoudre les problèmes spécifiques posés par les séries temporelles ;
Résoudre les problèmes analytiques posés par une série chronologique univariée.

De manière plus précise, les problèmes spécifiques posés par les séries temporelles sont : l’identification des processus, la prévision, l’identification et le retrait de la tendance, la correction des variations saisonnières, la séparation du court et du long terme, … Dans la mesure où il s’agit d’effectuer des prévisions, on recherche naturellement dans l’« histoire » de la série certaines régularités. Pour ce faire, on dispose de modèles théoriques de séries temporelles que l’on utilise pour identifier le processus qui est à l’origine de la suite des valeurs prises par la variable concernée par l’étude. Cette phase d’identification est importante car elle permet d’effectuer la prévision.

Description

Un des objectifs de l’étude d’une série temporelle est la prévision des réalisations futures, très souvent pour des raisons économiques (prévoir l’évolution de la vente d’un produit, prévoir l’évolution d’un marché financier ...). Bien entendu, aucun modèle ne correspond exactement à la réalité, et il est impossible de prévoir parfaitement le devenir d’une série temporelle. C’est la raison pour laquelle l’objectif est de vous donner les outils analytiques pour identifier le type de processus générateur de la série. Parmi ces outils, l'étude des corrélogrammes (représentation graphique des fonctions d'auto-corrélation simple et partielle) constitue un travail important. Cette phase d’identification est importante car elle permet par la suite d’effectuer la modélisation inhérente à la prévision de la série.

L'utilisation de ce cours est réservé aux partenaires du projet THEME et de la MIAGE.

Format

Le rythme : 1 session de 3h par semaine pendant 10 semaines. Dans chaque session, une vidéo de cours complète le polycopié du cours (qui sert également de support à la vidéo). Des ressources extérieurs supplémentaires sont proposées pour compléter le contenu synthétique (et « pour aller plus loin »…) La checklist (ou « ce que je dois savoir faire à la fin de la séance ») est proposée aux apprenants afin de mettre l’accent sur les notions les plus importantes à retenir à la fin de chaque séance. Les Quiz (essentiellement des QCM) sont proposés à la fin de chaque session pour permettre à l’apprenant de s’auto évaluer.

Prérequis

D’un point de vue théorique, ce cours, notamment, celui de séries chronologiques peut être considéré comme un aperçu de la statistique des processus à temps discret. Les pré-requis essentiels sont donc naturellement les bases des probabilités et de la statistique.

Plus précisément, en probabilités :
– variable aléatoire, moyenne, variance, indépendance, matrice de covariance, vecteur gaussien,
– ergodicité,
– loi des grands nombres et théorème central limite.

Et en statistique :
– estimateur, biais et intervalle de confiance,
– test d’hypothèse,
– modèle linéaire gaussien (non-acquis).

Quelques connaissances de bases d’algèbre et d’analyse sont également essentielles.

Plus précisément, pour l’algèbre :
– valeurs propres, vecteurs propres, déterminant et polynômes.

Et pour l’analyse :
– séries entières (analyse) et fonctions génératrices (proba).

Le test d’auto-positionnement est proposé afin d’aider l’apprenant à évaluer ses prérequis de manière autonome.

Evaluation et Certification

Deux types d’évaluation sont proposées :

1) Contrôle Intermédiaire (à 2/3 du planning de l'enseignement) porte essentiellement sur l'analyse des corrélogrammes (i.e. la représentation graphique des fonctions d'auto-corrélation simple et partielle). Il peut se dérouler (en fonction du scénario pédagogique) soit en présentiel (type devoir sur table), sous la forme d'un test QCM (si en distanciel). Dans les deux cas, ce contrôle compte pour 1/2 de la note finale. Ce premier contrôle porte essentiellement sur la reconnaissance des processus MA(q), AR(p), ARMA(p,q) et la détection de la non-stationnarité ;

2) Contrôle Terminal (à la fin du cours) a lieu de préference en présentiel et porte sur l'ensemble des éléments vus en cours. Sa note représente 1/2 de la note finale.

Plan de cours

- Définition d’une série chronologique univariée et les problèmes spécifiques posés par les séries temporelles (identification, prévision, stationnarité, tendance et saisonnalité, séparation du court et du long terme) ;
- Analyses temporelle et spectrale ;
- La « galerie de portraits » : processus stationnaires AR, MA et ARMA ; processus non-stationnaires ARIMA et SARIMA ;
- Méthode (itérative) de Box et Jenkins ;
- Logiciels : R, Eviews et SAS.
- Processus aléatoire/stochastique ;
- Stationnarité « forte » (au sens strict), Stationnarité à l’ordre 2 et Bruit Blanc ;
- Non-Stationnarité (TS et DS) et Marche aléatoire ;
- Opérateur retard et ses propriétés ;
- Fonctions d’Autocorrélation Simple et Partielle : Fonction d’Autocovariance d’un Processus, Fonction d’Autocorrélation (FAC) d’un Processus et Corrélogramme (théorique et empirique), Fonction d’Autocorrélation Partielle (FAP) ;
- Tests de significativité des coefficients d’autocorrélation.
- Modèle MA(q) = Moyenne Mobile (« Moving Average ») : sa Formulation et ses Caractéristiques (FAC et FAP) ;
- Modèle AR(p) = Auto-Régressif : sa Formulation et ses Caractéristiques (FAC et FAP) ;
- Modèle ARMA(p,q) : sa Formulation et ses Caractéristiques (FAC et FAP) ;
- Synthèse des propriétés (les outils permettant d’identifier le modèle générateur).
- Conditions de Stationnarité et d’Inversibilité ;
- Description des Processus TS et DS ;
- Différentiation et Conséquences d’une « Mauvaise » Stationnarisation du Processus.
- Exemple d’analyse : application à l’indice boursier CAC40 ;
- Analyse des corrélogrammes : MA, AR, ARMA, SARMA et ARIMA (stationnarité vs non-stationnarité).

Équipe pédagogique

Anna TYKHONENKO

Catégories

Maître de Conférences à l'Université de Nice - Côte d'Azur Responsable de la Licence MIASHS